Kann der Unterschied zwischen einem lokalen und einem absoluten / globalen Max- und Min-Punkt mathematisch ermittelt werden (ohne grafische Darstellung)?


Antwort 1:

Sie gehen zu mathematischen Theoremen und Beweisen, um solche Dinge zu erarbeiten.

Wenn Sie nachweisen können, dass Ihre Funktion eine konvexe Funktion ist, wissen Sie, dass sie nur ein lokales Minimum und damit ein absolutes Minimum hat. Das gleiche Argument kann für Maxima gemacht werden, wenn Sie das Negativ der Funktion nehmen.

Wenn Sie nachweisen können, dass Ihre Funktion zweitens differenzierbar und die zweite Ableitung fast überall nicht negativ ist, haben Sie gerade bewiesen, dass sie konvex ist, und können sie dann verwenden.

Wenn Ihre Funktion einer reellen Variablen ein Polynom ungerader Ordnung ist, wissen Sie, dass es keine absoluten Extrema gibt. Wenn es von gerader Ordnung ist, sehen Sie sich das Vorzeichen des primären Terms an und haben entweder keine absoluten Maxima oder absolute Minima.

Wenn Sie Ihre Funktion in eine Reihe von Teilen aufteilen können, bei denen jedes dieser Teile die oben genannten Eigenschaften aufweist, können Sie die möglichen Kandidaten für globale Extrema herausfiltern.

Wenn Sie endlich eine endliche Liste von Punkten haben, können Sie sie immer alle überprüfen.

Schwierig wird es, wenn Sie mit Funktionen (oder deren Negativen) arbeiten, die nicht konvex und nicht differenzierbar sind. Je weniger Sie über die Funktion wissen, desto weniger können Sie nachweisen, dass ein Extrempunkt ein globaler Extrempunkt ist.

Die Optimierungstheorie ist ein sehr großes Gebiet der aktuellen mathematischen Forschung.