Finite-Elemente-Analyse: Was ist der Unterschied zwischen Elementen erster und zweiter Ordnung?


Antwort 1:

Wasfi Zakaria hat eine hervorragende Beschreibung des Ansatzes geliefert, der Elemente erster Ordnung von Elementen zweiter Ordnung unterscheidet.

Es gibt eine subtile Komplexität, die in Elemente eingeführt wird, wenn sie eine höhere Ordnung erreichen.

Betrachten wir ein Dreieck im realen Raum.

Die kanonische Formfunktion in reellen Koordinaten für ein lineares Dreieckselement lautet:

P = a + bx + cy (3 Parameter und 3 Knoten)

und

dP / dx = b oder die Dehnung in x-Richtung kann in y linear variieren.

dP / dy = c oder die Dehnung in y-Richtung kann in x linear variieren.

Die kanonische Formfunktion in reellen Koordinaten für ein bilineares Dreieck (zweiter Ordnung) lautet:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 Parameter und 6 Knoten)

und

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

Und wir haben wieder ein symmetrisches Belastungsverhalten.

Schauen wir uns nun das lineare Quad-Element an:

P = a + bx + cy + dxy (vier Parameter, vier Knoten)

und

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Es ist zu beachten, dass es eine Asymmetrie in den d / dx- und d / dy-Dehnungsfeldern gibt.

Betrachten wir nun das biquadratische Serendipity-Element (acht Knoten):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (acht Parameter, acht Knoten)

und die Dehnungsfelder können bestimmt werden durch

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

und wieder sind die Dehnungsfelder nicht symmetrisch.

Dreieckselemente (und tetraedrische Elemente i 3D) haben also symmetrische Dehnungsfelder (und damit Spannungsfelder), während die Quad-Serendipity-Elemente dies nicht tun.

Warum spielt es eine Rolle?

Betrachten wir ein reines konstantes Verschiebungsfeld (konstante Dehnung). Alle Elemente weisen nur den konstanten Dehnungsterm auf und alle verhalten sich gleich gut.

Betrachten wir die lineare Dehnung über den Abschnitt (wie zum Beispiel beim reinen Biegen). Das lineare Dreieck ist eine konstante Dehnung und entspricht somit der realen Dehnung als Satz von Schrittfunktionen und konvergiert sehr langsam. Für bestimmte Probleme (Plastizität) verriegeln sich diese Elemente tatsächlich und werden korrekt angegeben. Das Konvergenzverhalten ist ungerade. Die bilinearen Elemente können jedoch explizit ein linear variierendes Dehnungsfeld in x oder y darstellen, und die Elemente konvergieren sofort für ein Element.

Betrachten wir nun Verschiebungsfelder höherer Ordnung, beispielsweise ein kubisches Verschiebungsfeld, das quadratische Dehnungsfelder ergibt (Biegen unter Endlast). Das bilineare Dreieck passt das Verschiebungsfeld mit einer Reihe quadratischer Felder an, und die Konvergenz ist relativ schnell. Ebenso kann die Dehnungsfeldvariation symmetrisch über das Element dargestellt werden und das Dehnungsfeld verhält sich gut. Schauen wir uns die Quad-Elemente an. Sie werden auch das Verschiebungsfeld als eine Menge quadratischer Verschiebungsfelder abbilden und ziemlich schnell konvergieren. Es gibt jedoch jetzt Dehnungskomponenten zweiter Ordnung, und diese können die Terme zweiter Ordnung in der Ableitung der Formfunktionen anregen. Und wenn das Verschiebungsfeld stärker und komplexer wird, werden diese Dehnungsfelder höherer Ordnung zunehmend angeregt. Das Ergebnis können oszillierende Dehnungen (und damit Spannungen) sein, siehe unten.

genommen von:

Strukturanalyse mit der Finite-Elemente-Methode. Lineare Statik

Dies wird mehr diskutiert in:

Dehnungsglättung der kleinsten Quadrate für das Spannungselement der Serendipity-Ebene mit acht Knoten

und

Finite-Elemente-Verfahren

und

Strukturanalyse mit der Finite-Elemente-Methode. Lineare Statik

Das Glätten der kleinsten Quadrate über dem Element (in diesem Fall die gerade Linie) ist eine sehr effektive Lösung für diese Herausforderung.

Einschlag:

1) Quads / Rechtecke konvergieren schneller als Dreiecke / Tetraeder

2) bilineare Elemente konvergieren viel schneller als lineare Elemente

3) bilineare (oder langrangische oder ...) Quads / Rechtecke sind anfällig für parasitäre Spannungsschwingungen

4) Die kleinste quadratische Anpassung der Dehnungs- / Spannungsfelder über dem Element ist sehr effektiv bei der Reduzierung dieser Schwingung


Antwort 2:

Nach der Diskretisierung in der FEA wird allen Elementen eine Funktion (ein Polynom) zugewiesen, die zur Darstellung des Verhaltens des Elements verwendet wird. Hierfür werden Polynomgleichungen bevorzugt, da sie leicht differenziert und integriert werden können. Die Reihenfolge eines Elements entspricht der Reihenfolge der Polynomgleichung, die zur Darstellung des Elements verwendet wird.

Ein lineares Element oder ein Element erster Ordnung hat Knoten nur an den Ecken. Dies ist so etwas wie die kantenzentrierte kubische Struktur.

Ein Element zweiter Ordnung oder ein quadratisches Element hat jedoch zusätzlich zu den Knoten an der Ecke Knoten in der Mitte (Kante + Körper + flächenzentrierte kubische Struktur).

Ein lineares Element im obigen Diagramm hat eindeutig zwei Knoten pro Kante und benötigt daher nur eine lineare Gleichung, die zugewiesen werden muss, um das Elementverhalten darzustellen.

Ein quadratisches Element benötigt jedoch eine quadratische Gleichung, um sein Verhalten zu beschreiben, da es drei Knoten hat.

Für Elemente, in denen Sie die Krümmung erfassen möchten, werden Polynome höherer Ordnung bevorzugt. Elemente erster Ordnung können die Krümmung nicht erfassen.

Die Reihenfolge des Elements hat nichts mit Geometrie zu tun. Im folgenden Diagramm können für dasselbe Dreieck sowohl die Diskretisierung erster als auch die zweite Diskretisierung durchgeführt werden, aber die zweite Ordnung hat gute Chancen, die Krümmung zu erfassen.

Um komplexe Krümmungen genau zu erfassen, werden Polynome sehr hoher Ordnung benötigt, die jedoch zu Lasten einer längeren Rechenzeit gehen. Daher ist es besser, einen Kompromiss zwischen Genauigkeitsgrad und Rechenzeit zu finden.

Lassen Sie uns nun über die Anzahl der Knoten zwischen Elementen erster und zweiter Ordnung sprechen. Die Anzahl der Knoten wird durch Pascals Dreieck erreicht.

Das Folgende gilt für Dreiecke. Für eine 0. Ordnung ist die Anzahl der Terme 1, dh die Anzahl der Knoten muss 1 sein.

Für ein lineares Polynom (Polynom erster Ordnung) beträgt die Anzahl der Terme 3, dh die Anzahl der Knoten muss 3 sein.

Für ein Quadrat (Polynom zweiter Ordnung) beträgt die Anzahl der Terme 6, was der Anzahl der Knoten = 6 entspricht.

Bei Quadraten müssen wir das Quadrat als Addition von zwei Dreiecken betrachten. Die Ergebnisse für lineare Ordnung 0. Ordnung sind wie folgt:


Antwort 3:

Elemente erster Ordnung bestehen im Allgemeinen aus der Kombination von Linien (dh die Konstruktion von FOE wird durch lineare Deferentialgleichungen oder Deferentialgleichungen erster Ordnung bestimmt), dh Dreieck, tat-Element. Sie sind am genauesten im Umgang mit geometrisch vorgespannten Formen wie perfektem Quadrat, Rechteck usw. Sie haben weniger Knoten auf dem gewünschten Gebiet.

Elemente zweiter Ordnung bestehen aus Kurven und Krümmungslinien (dh die Konstruktion von SOE wird durch Deferenzgleichungen zweiter Ordnung bestimmt). Sie haben die Tendenz, die größere Genauigkeit bei geometrisch vorgespannten sowie die sehr komplizierten oder komplizierten geometrischen Elemente während der Ausführung zu zeigen FEA


Antwort 4:

Es ist die Polynomfunktion, die das Element beschreibt. Tatsächlich haben Elemente erster Ordnung eine Funktion wie: P (x) = a * x + b

und für die Elemente zweiter Ordnung ist die Funktion ungefähr so: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

Im obigen Bild ist die erste Zeile der Elemente 1. Ordnung, während sich die Elemente 2. Ordnung in der 2. Zeile befinden.

PS: Sie können die parabolische Form der Elemente 2. Ordnung sehen, das ist das, was Elemente 1. Ordnung Ihnen nicht geben können.