Was ist für eine rationale Funktion der Unterschied zwischen einem Loch und einer vertikalen Asymptote?


Antwort 1:

Ich zitiere einen meiner Mathematiklehrer an der High School:

"Du sollst nicht durch Null teilen."

Manchmal ist es eine Zahl ungleich Null, die durch Null geteilt wird:

40\frac{4}{0}

Dies bedeutet, dass es eine Zahl gibt, die mit multipliziert wird

00

wird darin enden, dass

44

. (Mumpitz!)

Manchmal ist es Null, die durch Null geteilt wird:

00\frac{0}{0}

Hmmm. Dies bedeutet, dass es eine (singuläre) Zahl gibt, die durch geteilt wird

00

wird darin enden, dass

00

. Auf den ersten Blick könnte ein Schüler denken, die Nummer sei

00

, schon seit

0×0=00\times0=0

. Aber ein anderer Schüler, der sich daran erinnert, dass jede durch sich selbst geteilte Zahl gleich 1 ist, behauptet, dass der Wert des Bruchs seitdem 1 ist

1×0=01\times0=0

.Anotherstudentfeelsthenumberis283since283×0=0.Sincethereareaninfinitenumberofanswers,to[math]00[/math],thereisreallyNOdefinitionfor[math]00[/math].. Another student feels the number is 283 since 283\times0=0. Since there are an infinite number of answers, to [math]\frac{0}{0}[/math], there is really NO definition for [math]\frac{0}{0}[/math].

Betrachten Sie nun eine rationale Funktion, deren Zähler und Nenner alle herausgerechnet sind.

(x+2)(x+4)(x2)(x3)(x2)(x+4)(x9)(x+8)\frac{(x+2)(x+4)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)(x-9)(x+8)}

In unserer obigen rationalen Funktion sind die Einschränkungen in der Domäne

xx ≠

{-8, -4, 2, 9}.

Sowohl vertikale Asymptoten als auch Löcher im Diagramm sind in den Einschränkungen für die Domäne dargestellt. Diese Einschränkungen werden verursacht, wenn ein Wert von

xx

wäre ein Versuch, sich durch zu teilen

00

.

Es wird sich herausstellen, dass zwei dieser Einschränkungen die

xx

-Koordinate eines Lochs im Diagramm, die anderen beiden sind vertikale Asymptoten.

Ich beginne gerne damit, die cleveren Formen von 1 zu finden und diese von den Faktoren zu trennen, die nicht übereinstimmen:

x2x2x+4x+4(x+2)(x3)(x9)(x+8)\frac{x-2}{x-2}·\frac{x+4}{x+4}·\frac{(x+2)(x-3)}{(x-9)(x+8)}

Die cleveren Formen von 1 sind immer gleich 1, außer wenn Zähler und Nenner gleich 0 sind

xx

-Koordinaten der Löcher sind 2 und -4.

Die vertikalen Asymptoten treten bei allen anderen eingeschränkten Werten von x auf, die keine x-Koordinaten von Löchern sind. In meinem Beispiel sind dies

x=9x=9

und

x=8x=-8

.


Antwort 2:

Der Graph einer rationalen Funktion ist kontinuierlich, wo immer er definiert ist. Ein Loch ist der Punkt, an dem die Funktion undefiniert ist.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

hat ein Loch bei

x=2x=2

.

Wenn wir das herausrechnen

x2x-2

von oben und unten bekommen wir

y=x+2y=x+2

.

Der Graph ist die gerade Linie

y=x+2y=x+2

aber der Punkt

(2,4)(2,4)

fehlt im Diagramm (da es nie für definiert wurde

x=2x=2

).

Eine vertikale Asymptote tritt auf, wenn der Nenner gegen Null geht.

zB für

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

ist undefiniert bei

x=0x=0

. Wenn Sie sich jedoch die Grafik ansehen,

yy

neigt dazu

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Hier,

x=0x=0

(Y-Achse) wird als vertikale Asymptote bezeichnet.

Allgemein,

1xa\frac{1}{x-a}

hat die vertikale Asymptote

x=ax=a

.

Eine vertikale Asymptote ist die vertikale Linie, die an dem Punkt gezogen wird, um den die Funktion tendiert

±\pm \infty

,

Ein Loch ist ein Punkt, an dem der Graph "bricht".


Antwort 3:

Der Graph einer rationalen Funktion ist kontinuierlich, wo immer er definiert ist. Ein Loch ist der Punkt, an dem die Funktion undefiniert ist.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

hat ein Loch bei

x=2x=2

.

Wenn wir das herausrechnen

x2x-2

von oben und unten bekommen wir

y=x+2y=x+2

.

Der Graph ist die gerade Linie

y=x+2y=x+2

aber der Punkt

(2,4)(2,4)

fehlt im Diagramm (da es nie für definiert wurde

x=2x=2

).

Eine vertikale Asymptote tritt auf, wenn der Nenner gegen Null geht.

zB für

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

ist undefiniert bei

x=0x=0

. Wenn Sie sich jedoch die Grafik ansehen,

yy

neigt dazu

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Hier,

x=0x=0

(Y-Achse) wird als vertikale Asymptote bezeichnet.

Allgemein,

1xa\frac{1}{x-a}

hat die vertikale Asymptote

x=ax=a

.

Eine vertikale Asymptote ist die vertikale Linie, die an dem Punkt gezogen wird, um den die Funktion tendiert

±\pm \infty

,

Ein Loch ist ein Punkt, an dem der Graph "bricht".


Antwort 4:

Der Graph einer rationalen Funktion ist kontinuierlich, wo immer er definiert ist. Ein Loch ist der Punkt, an dem die Funktion undefiniert ist.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

hat ein Loch bei

x=2x=2

.

Wenn wir das herausrechnen

x2x-2

von oben und unten bekommen wir

y=x+2y=x+2

.

Der Graph ist die gerade Linie

y=x+2y=x+2

aber der Punkt

(2,4)(2,4)

fehlt im Diagramm (da es nie für definiert wurde

x=2x=2

).

Eine vertikale Asymptote tritt auf, wenn der Nenner gegen Null geht.

zB für

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

ist undefiniert bei

x=0x=0

. Wenn Sie sich jedoch die Grafik ansehen,

yy

neigt dazu

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Hier,

x=0x=0

(Y-Achse) wird als vertikale Asymptote bezeichnet.

Allgemein,

1xa\frac{1}{x-a}

hat die vertikale Asymptote

x=ax=a

.

Eine vertikale Asymptote ist die vertikale Linie, die an dem Punkt gezogen wird, um den die Funktion tendiert

±\pm \infty

,

Ein Loch ist ein Punkt, an dem der Graph "bricht".