Physik: Was ist der Unterschied zwischen einer hyperbolischen und einer parabolischen Bahn in der Orbitalmechanik? Warum / wann würde einer über dem anderen verwendet werden?


Antwort 1:

Asyoumightexpect,ahyperbolictrajectoryhastheshapeofahyperbola,e.g.,y=1/x, whilethatofaparabolictrajectoryhastheshapeofaparabola,e.g.,[math]y=x2[/math]. Actuallythedifferenceisnotasgreatasthoseformulasmightsuggest. Allorbitaltrajectories(includingelliptical)admittheform[math]r=C/(1+Ecosθ)[/math],where[math]r[/math]and[math]θ[/math]arepolarcoordinatesrelativetotheattractor,[math]C[/math]isaconstant,and[math]E[/math]isaparameterthatdeterminestheellipticity. For[math]E>1[/math]thetrajectoryishyperbolic,for[math]E<1[/math]elliptical,andfor[math]E=1[/math]parabolic.As you might expect, a hyperbolic trajectory has the shape of a hyperbola, e.g., y=1/x,  while that of a parabolic trajectory has the shape of a parabola, e.g., [math]y=x^2[/math].  Actually the difference is not as great as those formulas might suggest.  All orbital trajectories (including elliptical) admit the form [math]r=C/(1+E\cos{\theta})[/math], where [math]r[/math] and [math]\theta[/math] are polar coordinates relative to the attractor, [math]C[/math] is a constant, and [math]E[/math] is a parameter that determines the ellipticity.  For [math]E>1[/math] the trajectory is hyperbolic, for [math]E<1[/math] elliptical, and for [math]E=1[/math] parabolic.

Die parabolische Flugbahn ist diejenige, die dem Attraktor unter der Bedingung am nächsten kommt, dass das umlaufende Objekt noch Fluchtgeschwindigkeit hat. Aber eine willkürlich kleine Änderung der Geschwindigkeit macht sie zu einer der anderen, so dass der parabolische Fall ein ganz besonderer ist.