Was genau ist der Unterschied zwischen dem Riemannschen Integral und dem Lebesgue-Integral? Beim Nachschlagen sah ich viele Abbildungen, die zeigten, dass die Funktion später horizontal statt vertikal aufgeteilt wurde. Ist das der einzige Unterschied?


Antwort 1:

Art von.

Ich erinnere mich an eine alte Beobachtung: „Wie im Skigebiet, wo Mädchen nach Ehemännern suchen und Ehemänner nach Mädchen suchen, ist die Situation nicht so symmetrisch, wie es zunächst scheint.“

Der Kern des Unterschieds zwischen diesen beiden Zerlegungen besteht darin, dass Sie beim Zerlegen in vertikale Rechtecke von der Kontinuität der Funktion abhängig sind, um ein „äußeres“ Rechteck und ein „inneres“ Rechteck zu erhalten, die konvergierende obere und untere Grenzen ergeben zueinander.

Bei der horizontalen Zerlegung sind Sie stattdessen abhängig vom inversen Bild eines Intervalls unter der Funktion etwas, dessen Gesamtlänge Sie irgendwie „addieren“ können. Hier entsteht der Begriff des Maßes, und Sie müssen dies verstehen, bevor Sie (in diesem Ansatz, der einer von vielen ist) das Integral verstehen können.


Antwort 2:

Was genau ist der Unterschied zwischen dem Riemannschen Integral und dem Lebesgue-Integral? Beim Nachschlagen sah ich viele Abbildungen, die zeigten, dass die Funktion später horizontal statt vertikal aufgeteilt wurde. Ist das der einzige Unterschied?

Ich werde kontrovers sein und sagen, dass das nicht der Unterschied ist. Ich zitiere aus EC Titchmarsh, The Theory of Functions.

Vergleich mit Riemanns Definition. Der vielleicht offensichtlichste Unterschied zum Anfänger besteht darin, dass wir in Lebesgues Definition das Variationsintervall der Funktion anstelle des Integrationsintervalls aufteilen. Dies ist jedoch vergleichsweise unwichtig. Wesentlich ist, dass wir die allgemeine Theorie des "Maßes" von Mengen anstelle der begrenzteren Theorie des "Ausmaßes" verwenden. Es wäre möglich, ein Integral aus Integralen charakteristischer Funktionen aufzubauen, wobei jedoch das Ausmaß anstelle des Maßes verwendet wird. Dies wäre im Wesentlichen gleichbedeutend mit Riemanns Definition. Andererseits ist es möglich, ein Integraläquivalent zu Lebesgue zu definieren, indem das Integrationsintervall in geeigneter Weise aufgeteilt wird.

[Meine Kursivschrift]

Da haben wir es also, der entscheidende Unterschied besteht darin, das Maß einer Menge zu verwenden.

(Die charakteristischen Funktionen, die Titchmarsh erwähnt, sind Funktionen, die 1 auf einer Menge und an anderer Stelle Null sind. Tatsächlich tun dies die meisten modernen Definitionen des Lebesgue-Integrals im Wesentlichen auf diese Weise, indem sie die Funktion durch eine Folge einfacher Funktionen approximieren - dh Funktionen, die nur annehmen eine endliche Anzahl von Werten.)

Das Lebesgue-Maß für die Menge der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 ist Null, aber was Titchmarsh das "Ausmaß" der Menge nennt, ist 1. Dies ist eine andere Art von Maß, die als Peano-Jordan-Maß bekannt ist. Das Peano-Jordan-Maß kann nicht in einem dichten Satz in einem Intervall sehen, wie viel des Satzes darin enthalten ist. Die komplementäre Menge hat das Lebesgue-Maß 1, das dem Umfang entspricht.

Betrachten wir eine begrenzte nicht negative Funktion *. Die Menge der Punkte

(x,y)(x,y)

mit

0yf(x)0\le y\le f(x)

heißt Ordinatensatz der Funktion. Manchmal wird das Lebesgue-Integral mit dem Bereich unter der Funktion dargestellt, der in horizontale Streifen unterteilt ist. Aber das hat Lebesgue nicht getan (obwohl man es so machen kann). Lebesgue teilte den Bereich von 0 bis zum Maximalwert ** der Funktion in kleine Intervalle nach Punkten

0,y1,y2,,yn0,y_1,y_2,\dots,y_n

und dann betrachtete die Menge von

xx

Werte, die führten

f(x)f(x)

in diesem Intervall sein. Dann multiplizierte er das Maß dieser Menge mit dem unteren Endwert des Intervalls. Diese werden addiert und das Maximum *** über alle möglichen Unterteilungen übernommen.

Es gibt also immer noch eine Unterteilung in vertikale Teile, die Teile des Ordinatensatzes der Funktion sind. Wenn die Funktion in einem Intervall unendlich oft auf und ab springt, sind diese Teile keine Streifen. (Wenn

f(x)f(x)

ist nicht monoton, sie werden auch keine Streifen sein, zum Beispiel die Funktion

f(x)=1x2f(x)=1-x^2

gibt normalerweise zwei disjunkte Streifen.)

Es ist ziemlich leicht zu erkennen, dass das Lebesgue-Integral das zweidimensionale Lebesgue-Maß der Ordinatenmenge ist. Und das Riemannsche Integral ist das zweidimensionale Peano-Jordan-Maß der Ordinatenmenge. Das erklärt, warum die naive Definition des Integrals als Fläche unter der Funktion funktioniert.

* Der allgemein begrenzte Fall ist dann die Differenz zwischen den Integralen des positiven und des negativen Teils der Funktion.

** Genauer gesagt, das Supremum.

*** Kunst.


Antwort 3:

Es ist der einzige Unterschied auf der realen Linie, aber das ist tatsächlich ein ziemlich wesentlicher Unterschied. Um das Riemannsche Integral einer Funktion zu nehmen, muss die Domäne dieser Funktion Addition, Multiplikation und eine vernünftige Reihenfolge haben. Die Domäne einer integrierbaren Lebesgue-Funktion muss nur ein Messraum sein, was bedeutet, dass wir das Lebesgue-Integral allgemein und nicht nur in betrachten können

Rn\mathbb{R}^n

.