Was ist der Unterschied zwischen Co-Domain, Reichweite und Image einer Funktion?


Antwort 1:

Eine "Funktion" ist eine Regel, die jedes Element einer ersten Menge, die als "Domäne" der Funktion bezeichnet wird, einem Element einer zweiten Menge, der als "Codomäne" der Funktion bezeichnet wird, zuordnet.

Für eine Funktion f: A-> B ist A die "Domäne" (Menge, die "zugeordnet ist") und B ist die "Codomäne" (Menge, die "zugeordnet ist").

Wenn S eine Untermenge von A ist, dann ist das "Bild" von S unter f die Untermenge T von B, die aus allen Punkten in B besteht, auf die f tatsächlich von Punkten in A abbildet.

Das Bild der gesamten Domäne wird als "Bereich" von f bezeichnet.

Iftherangeisthesameasthecodomain,thenthefunctionissurjectiveoronto.Anexamplewouldbeg:R>R,y=g(x)=x3.AllpointsofRaremappedtobyg,sotherangeisthecodomainandgissurjective.If the range is the same as the codomain, then the function is “surjective” or “onto”. An example would be g:R->R, y=g(x)=x^3. All points of R are mapped-to by g, so the range is the codomain and g is “surjective”.

However,thefunctionh:R>R,y=h(x)=x4isnotsurjective,becausehmapsRonto[math]R0+[/math]only;noneofthevaluesof[math]x4[/math]arenegative.However, the function h:R->R, y=h(x)=x^4 is not surjective, because h maps R onto [math]R_0^+[/math] only; none of the values of [math]x^4[/math] are negative.

Es gibt auch das Konzept von "injektiv" oder "eins zu eins"; Wenn keine zwei Elemente von A durch eine Funktion f: A-> B auf dasselbe Element von B abgebildet werden, ist f "injektiv". Kontinuierliche Funktionen von R bis R, die streng zunehmen oder streng abnehmen, sind immer injektiv.

Funktionen, die sowohl "surjektiv" als auch "injektiv" sind, werden "bijektiv" genannt. Dies ist aus mehreren Gründen ein sehr nützliches Konzept, nicht zuletzt aus diesen beiden Gründen: Erstens ist eine Funktion nur dann invertierbar, wenn sie bijektiv ist. Und zweitens haben zwei Mengen A und B die gleiche Kardinalität (Größe), wenn und nur wenn eine Bijektion f zwischen ihnen existiert.


Antwort 2:

Beafunctionf:XYBe a function f: X\rightarrow Y

Dann gibt es für jedes x einen Wert f (x) in der Codomäne, aber nicht unbedingt alle f (x) in der Codomäne (oder im Bereich). Die Menge aller f (x) ist das Bild

x²: ℝ → ℝ hat die Co-Domain ℝ aber das Bild (für die gesamte Domain) [0, + ∞)

Inpractise,youfixarange(orcodomain)meaningthatallthevaluesoff(x)areasubsetofthecodomain,inspiteofmanytimes(notinmathematicaltheoreticaldefinition)arenotallthevaluesofthecodomain.Inpractiseitismoresimpledefinethefunctionlikeasetofpairs(x,f(x))In practise, you fix a range (or co-domain) meaning that all the values of f(x) are a subset of the codomain, in spite of many times (not in mathematical theoretical definition) are not all the values of the codomain. In practise it is more simple define the function like a set of pairs (x, f(x))

In diesem Fall sind Codomäne (oder Bereich) und Bild gleich und die Definitionen zum Studium des Funktionskonzepts sind einfacher

Manchmal wird der Bereich nur verwendet, um das Bild richtig zu benennen


Antwort 3:

Codomain bedeutet immer die Menge, aus der die Werte einer Funktion zu entnehmen sind. Es ist Teil der Definition einer Funktion. Es ist doch mal nicht näher bezeichnet links, wenn es „offensichtlich“ ist, oder es gibt keinen Grund, die verschiedenen „offensichtlich“ Kandidaten zu unterscheiden.

Bereich wird manchmal bedeutet das gleiche wie „codomain“ und manchmal zu bedeuten, die Teilmenge der codomain deren Mitglieder „verwendet“, verwendet, das heißt, für die ein Element der Domäne vorhanden ist, die die Funktion abbildet auf dieses Element des codomain . Es ist das Image der Domain.

Das Bild wird normalerweise für bestimmte Untergruppen der Domäne verwendet. Dies ist die Teilmenge der Codomäne, sodass ein Element der angegebenen Teilmenge der Domäne auf dieses Element der Codomäne abgebildet wird. In einigen Fällen ist die gesamte Domäne gemeint, wenn keine bestimmte Teilmenge der Domäne explizit angegeben ist. das Gleiche wie die engere Bedeutung von "range", die per Definition nicht mit der Codomäne identisch ist.